光華名師分享:數學解題好策略


1

要有好心態


沉著冷靜,從容鎮定,戰略上藐視問題,戰術上重視問題,膽大心細,有大將風度,才會令解題者左右逢源,妙計疊出,否則隻會“邏輯亂套,直覺失效,沒有題感,死得很慘”。


2

要懂審題


審已知,審隱含條件,審解題目標,審命題意圖。要牢記審題口訣“逐字逐句逐標點,邊讀邊畫邊聯想”,要特別尋找題目中的關鍵詞,還有那些括號裏麵的注記式的內容常常是被解題者忽略的,卻肯定是命題者和閱卷者看重的。


3

要有設計方案


審題完畢,也莫著急,易見之途,常是彎的。尤其是解析幾何中的問題,表麵上看思路並不難,但如果貿然動筆,則很可能運算繁難,正所謂“望山跑煞馬”也。解題不設計,越解越生氣。方案若繁難,就得換主意。事實上,按照匈牙利數學家G-波利亞在其名著[怎樣解題]中的說法,解題中必須先設計方案,再動手解決(執行方案)。隻有在設計出最優方案以後再動手,才不至於浪費時間。


4

定性優先


何謂定性?就是在大方向上對問題的類型和性質進行識別與判斷,首先是用定義去進行比照。例如,這個問題是排列問題還是組合問題?要看它是有序的還是無序的;這個問題是應該用加法原理去做還是應該用乘法原理去做?


要看它是分類完成還是分步完成;如果是概率統計方麵的問題,則它是四大概型(等可能事件的概率、互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率、獨立重複試驗中某事件發生k次的概率——貝努利概型)中的哪一類型?離散型隨機變量是服從四大分布(一點分布、兩點分布、二項分布、幾何分布)中的哪一種分布?給你一個立體圖形或者圓錐曲線圖形,它是已經固定了還是可以變化?若是可以變化,主變量是什麼?


5

定位優先


立體幾何中求二麵角的大小,則它的平麵角在哪裏?在圖中找出來就可以了還是需要作出來?使用三垂線定理解題,基本平麵在哪裏?它的“兩足”(垂足與斜足)在哪裏?涉及圓錐曲線問題,它的焦點在什麼位置?在x軸上還是y軸上?中心在哪裏?根據圖象求正弦函數或者餘弦函數的解析式,需要求它的初相,那麼它的第一零點在哪裏?


6

定義域優先


在解函數題時,這一條極其重要。如判斷函數的奇偶性,先看定義域是否關於原點對稱;對變量進行換元,要記住“換元必換域”的口訣,比如令sinx+cosx=t,必須隨即寫上新變量t的取值範圍;複合函數的內層函數的值域是外層函數的定義域,等等。


7

定義法優先


定義是知識的生長點,用定義法解題是回歸本源的高明方法。波利亞解題法中就有“回到定義去”的重要提醒句。


8

前提優先


用均值不等式求最值的前提是“一正二定三相等”,否則用單調性解決;涉及等比數列問題,它的公比的取值情形如何?凡是欲使用韋達定理或判別式解題,要先問方程的二次項係數是否為零?


9

範圍優先


在三角函數這個內容裏麵,有一句口訣叫做“求角先求函數值,總要優先定範圍”。


10

特情優先


命題者出於考查嚴謹性的考慮,一般都有意識地在題目中設置一些特殊情況作為問題的一個小分支,這個小分支本身並不難,但要求解題者不要漏掉。


比如:分母為零嗎?二次項係數為零嗎?等比數列的公比為1嗎?直線方程的斜率存在嗎?斜率為零嗎?直線方程中截距為零嗎?集合問題中考慮集合為空集的情形了嗎?所給的集合是點集還是數集?端點值能夠取到嗎?求數列通項公式時,第一項是否不符合通項公式而需要單列呢?解題時要做到“先為不可勝而待敵之可勝”,就要養成特情優先的良好習慣。


11

整體法優先


此法堪稱第五大數學思想,它是全局思想在解題中的體現。換元法解方程,等積法求三角形的高或求點麵距離,用射影麵積法求二麵角的大小,解析幾何中的“點差法”解決中點弦問題,解複雜方程組時的整體消元,平均值法解決有關排列組合數問題,等等,都是運用這一思想的體現。另外,三角題中有一類求值問題,用解二次方程組的方法則繁難之至,而用“湊角法”則很簡單。


12

間接法優先


間接法體現了思維的靈活性,所謂“間接法”有兩層意思,一是從反麵考慮問題,二是從側麵考慮問題。凡有關“至多、至少”問題,使用從反麵考慮問題的間接法,一般都比較簡便,這一點在解決有關概率統計問題時尤其明顯,在解有關排列組合問題上也是如此,原因是可以避免繁雜的分類討論;此外,解小題(填空題或者選擇題),優先使用從側麵考慮問題的間接法,是贏得時間的重要策略,這裏就不贅述了。


13

結構優先


解數學題是要有結構眼光,因為結構決定功能。無論是對式子的結構還是圖形的結構,都要保持足夠的敏感度。


例如看到形如 的式子或者形如的式子,你是否想到它有表示“距離”的幾何意義?


看到形如分式之類的式子,你是否想到它可以理解為斜率公式或者是定比分點公式?


再如,看到這類式子,你是否意識到它可能用上均值不等式。


解析幾何中,有些線段本身就是焦點弦或者是焦半徑;立體幾何中,有些圖形是經典的三垂線結構或者三餘弦結構,有些圖形本身就是從正方體中切下來的一部分;等等。意識到這一點,往往就容易找到破題的口子。


14

易處優先


解決任何問題,都不免會碰到困難,人們的一個策略就是先易後難,逐步解決。體現在對待數學問題的態度上,當然也是如此。數學解答題,常常是一設多問,難度逐漸加大,解答時候就應該遵循這個順序。



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