高一數學:必修一各章知識點總結


1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素。


2、集合的中元素的三個特性:


1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無序性


說明:(1)對於一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。


(2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素。


(3)集合中的元素是平等的,沒有先後順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。


(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。


3、集合的表示:{…}如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}


1.用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}


2.集合的表示方法:列舉法與描述法。


注意啊:常用數集及其記法:


非負整數集(即自然數集)記作:N


正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R


關於“屬於”的概念


集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬於集合A記作a∈A,相反,a不屬於集合A記作a?A


列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然後用一個大括號括上。


描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬於這個集合的方法。


①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}


②數學式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}


4、集合的分類:


1.有限集含有有限個元素的集合


2.無限集含有無限個元素的集合


3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}


二、集合間的基本關係


1.“包含”關係—子集


注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。


反之:集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA


2.“相等”關係(5≥5,且5≤5,則5=5)


實例:設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”


結論:對於兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等於集合B,即:A=B


①任何一個集合是它本身的子集。AíA


②真子集:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)


③如果AíB,BíC,那麼AíC


④如果AíB同時BíA那麼A=B


3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ


規定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。


三、集合的運算


1.交集的定義:一般地,由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.


記作A∩B(讀作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.


2、並集的定義:一般地,由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的並集。記作:A∪B(讀作”A並B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.


3、交集與並集的性質:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,


A∪φ=A,A∪B=B∪A.


4、全集與補集


(1)補集:設S是一個集合,A是S的一個子集(即),由S中所有不屬於A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或餘集)


記作:CSA即CSA={x|x?S且x?A}


S


CsA


A


(2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。


(3)性質:⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U


二、函數的有關概念


1.函數的概念:設A、B是非空的數集,如果按照某個確定的對應關係f,使對於集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值範圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.


注意:2如果隻給出解析式y=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;3函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.


定義域補充


能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域,求函數的定義域時列不等式組的主要依據是:(1)分式的分母不等於零;(2)偶次方根的被開方數不小於零;(3)對數式的真數必須大於零;(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那麼,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等於零(6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.


(又注意:求出不等式組的解集即為函數的定義域。)


構成函數的三要素:定義域、對應關係和值域


再注意:(1)構成函數三個要素是定義域、對應關係和值域.由於值域是由定義域和對應關係決定的,所以,如果兩個函數的定義域和對應關係完全一致,即稱這兩個函數相等(或為同一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致,而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法:①表達式相同;②定義域一致(兩點必須同時具備)


(見課本21頁相關例2)


值域補充


(1)、函數的值域取決於定義域和對應法則,不論采取什麼方法求函數的值域都應先考慮其定義域.(2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域,它是求解複雜函數值域的基礎。


3.函數圖象知識歸納


(1)定義:在平麵直角坐標係中,以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標,函數值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.


C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數關係y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}


圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多隻有一個交點的若幹條曲線或離散點組成。


(2)畫法


A、描點法:根據函數解析式和定義域,求出x,y的一些對應值並列表,以(x,y)為坐標在坐標係內描出相應的點P(x,y),最後用平滑的曲線將這些點連接起來.


B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)


高一數學必修1常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對稱變換


(3)作用:


1、直觀的看出函數的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。


發現解題中的錯誤。


4.快去了解區間的概念


(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間;(2)無窮區間;(3)區間的數軸表示.


5.什麼叫做映射


一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對於集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那麼就稱對應f:AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f:AB”


給定一個集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應,那麼,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象


說明:函數是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應,①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有“方向性”,即強調從集合A到集合B的對應,它與從B到A的對應關係一般是不同的;③對於映射f:A→B來說,則應滿足:(Ⅰ)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,並且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中對應的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。


常用的函數表示法及各自的優點:


1函數圖象既可以是連續的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;2解析法:必須注明函數的定義域;3圖象法:描點法作圖要注意:確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特征;4列表法:選取的自變量要有代表性,應能反映定義域的特征.


注意啊:解析法:便於算出函數值。列表法:便於查出函數值。圖象法:便於量出函數值


補充一:分段函數(參見課本P24-25)


在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的範圍裏求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程,而就寫函數值幾種不同的表達式並用一個左大括號括起來,並分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數是一個函數,不要把它誤認為是幾個函數;(2)分段函數的定義域是各段定義域的並集,值域是各段值域的並集.


補充二:複合函數


如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)稱為f、g的複合函數。


例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)


7.函數單調性


(1).增函數


設函數y=f(x)的定義域為I,如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1,x2,當x1


如果對於區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1


注意:1函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質,是函數的局部性質;


2必須是對於區間D內的任意兩個自變量x1,x2;當x1


(2)圖象的特點


如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,那麼說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的,減函數的圖象從左到右是下降的.


(3).函數單調區間與單調性的判定方法


(A)定義法:


1任取x1,x2∈D,且x1


(B)圖象法(從圖象上看升降)_


(C)複合函數的單調性


注意:1、函數的單調區間隻能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.2、還記得我們在選修裏學習簡單易行的導數法判定單調性嗎?


8.函數的奇偶性


(1)偶函數


一般地,對於函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼f(x)就叫做偶函數.


(2)奇函數


一般地,對於函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那麼f(x)就叫做奇函數.


注意:1函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性,函數的奇偶性是函數的整體性質;函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。


2由函數的奇偶性定義可知,函數具有奇偶性的一個必要條件是,對於定義域內的任意一個x,則-x也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關於原點對稱).


(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征


偶函數的圖象關於y軸對稱;奇函數的圖象關於原點對稱.


總結:利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟:1首先確定函數的定義域,並判斷其定義域是否關於原點對稱;2確定f(-x)與f(x)的關係;3作出相應結論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數.


注意啊:函數定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關於原點對稱,若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱,(1)再根據定義判定;(2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難,可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理,或借助函數的圖象判定.


9、函數的解析表達式


(1).函數的解析式是函數的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數關係時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函數的定義域.


(2).求函數的解析式的主要方法有:待定係數法、換元法、消參法等,如果已知函數解析式的構造時,可用待定係數法;已知複合函數f[g(x)]的表達式時,可用換元法,這時要注意元的取值範圍;當已知表達式較簡單時,也可用湊配法;若已知抽象函數表達式,則常用解方程組消參的方法求出f(x)


10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)


1利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值2利用圖象求函數的最大(小)值3利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值:如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);


第二章基本初等函數


一、指數函數


(一)指數與指數冪的運算


1.根式的概念:一般地,如果,那麼叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈*.


當是奇數時,正數的次方根是一個正數,負數的次方根是一個負數.此時,的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical),這裏叫做根指數(radicalexponent),叫做被開方數(radicand).


當是偶數時,正數的次方根有兩個,這兩個數互為相反數.此時,正數的正的次方根用符號表示,負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合並成±(>0).由此可得:負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。


注意:當是奇數時,,當是偶數時,


2.分數指數冪


正數的分數指數冪的意義,規定:


0的正分數指數冪等於0,0的負分數指數冪沒有意義


指出:規定了分數指數冪的意義後,指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數,那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.


3.實數指數冪的運算性質


(1)?;


(2);


(3).


(二)指數函數及其性質


1、指數函數的概念:一般地,函數叫做指數函數(exponential),其中x是自變量,函數的定義域為R.


注意:指數函數的底數的取值範圍,底數不能是負數、零和1.


2、指數函數的圖象和性質


a>1


0


圖象特征


函數性質


向x、y軸正負方向無限延伸


函數的定義域為R


圖象關於原點和y軸不對稱


非奇非偶函數


函數圖象都在x軸上方


函數的值域為R+


函數圖象都過定點(0,1)


自左向右看,


圖象逐漸上升


自左向右看,


圖象逐漸下降


增函數


減函數


在第一象限內的圖象縱坐標都大於1


在第一象限內的圖象縱坐標都小於1


在第二象限內的圖象縱坐標都小於1


在第二象限內的圖象縱坐標都大於1


圖象上升趨勢是越來越陡


圖象上升趨勢是越來越緩


函數值開始增長較慢,到了某一值後增長速度極快;


函數值開始減小極快,到了某一值後減小速度較慢;


注意:利用函數的單調性,結合圖象還可以看出:


(1)在[a,b]上,值域是或;


(2)若,則;取遍所有正數當且僅當;


(3)對於指數函數,總有;


(4)當時,若,則;


二、對數函數


(一)對數


1.對數的概念:一般地,如果,那麼數叫做以為底的對數,記作:(—底數,—真數,—對數式)


說明:1注意底數的限製,且;


2;


3注意對數的書寫格式.


兩個重要對數:


1常用對數:以10為底的對數;


2自然對數:以無理數為底的對數的對數.


對數式與指數式的互化


對數式指數式


對數底數←→冪底數


對數←→指數


真數←→冪


(二)對數的運算性質


如果,且,,,那麼:


1?+;


2-;


3.


注意:換底公式


(,且;,且;).


利用換底公式推導下麵的結論(1);(2).


(二)對數函數


1、對數函數的概念:函數,且叫做對數函數,其中是自變量,函數的定義域是(0,+∞).


注意:1對數函數的定義與指數函數類似,都是形式定義,注意辨別。


如:,都不是對數函數,而隻能稱其為對數型函數.


2對數函數對底數的限製:,且.


2、對數函數的性質:


a>1


0


圖象特征


函數性質


函數圖象都在y軸右側


函數的定義域為(0,+∞)


圖象關於原點和y軸不對稱


非奇非偶函數


向y軸正負方向無限延伸


函數的值域為R


函數圖象都過定點(1,0)


自左向右看,


圖象逐漸上升


自左向右看,


圖象逐漸下降


增函數


減函數


第一象限的圖象縱坐標都大於0


第一象限的圖象縱坐標都大於0


第二象限的圖象縱坐標都小於0


第二象限的圖象縱坐標都小於0


(三)冪函數


1、冪函數定義:一般地,形如的函數稱為冪函數,其中為常數.


2、冪函數性質歸納.


(1)所有的冪函數在(0,+∞)都有定義,並且圖象都過點(1,1);


(2)時,冪函數的圖象通過原點,並且在區間上是增函數.特別地,當時,冪函數的圖象下凸;當時,冪函數的圖象上凸;


(3)時,冪函數的圖象在區間上是減函數.在第一象限內,當從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當趨於時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.


第三章函數的應用


一、方程的根與函數的零點


1、函數零點的概念:對於函數,把使成立的實數叫做函數的零點。


2、函數零點的意義:函數的零點就是方程實數根,亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即:


方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點.


3、函數零點的求法:


求函數的零點:


1(代數法)求方程的實數根;


2(幾何法)對於不能用求根公式的方程,可以將它與函數的圖象聯係起來,並利用函數的性質找出零點.


4、二次函數的零點:


二次函數.


1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數的圖象與軸有兩個交點,二次函數有兩個零點.


2)△=0,方程有兩相等實根(二重根),二次函數的圖象與軸有一個交點,二次函數有一個二重零點或二階零點




信息來源:高中學習幫


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