讀《無言的宇宙:隱藏在24個數學公式背後的故事》


《無言的宇宙:隱藏在24個數學公式背後的故事》,[美]達納·麥肯齊 著,北京聯合出版公司。

 


作者選取的公式符合他認為的以下標準:1.令人驚訝;2.簡潔;3.能夠產生重大效果;4.具有普遍意義。

 

書中的一些方程並非數學定理,而是物理定律或理論。與數學定理不同,他們需要經過經驗證據和統計檢測確認,而且有時候,更為精確的實驗會證明它們並非完美。

 

這本書中出了數學公式,還有相關數學家、物理學家、經濟學家的故事。

 

本書中公式是按數學發展的時間順序選取的,基本反映了數學發展的曆史。對於我自己來說,它起到一個導讀的作用,可以為我將來讀《數學史》和《古今數學思想》做些熱身。

 

但是隨著公式出現得越晚,公式就越複雜,理解起來也越困難,如果複雜度一直上升,人類將來怎麼辦?

 

第一部分 古代的定理

 

1.我們為什麼信賴算數:世界上最簡單的公式

 

1加1等於2。

 

令人驚訝的一點是古代數學中有關加法討論的證據不多。巴比倫和埃及的文獻中充斥著乘法與除法表,但沒有加法表。也許因為許多文化中使用較為簡單的計數係統。一豎加一豎顯然是兩豎。

 

另外一個觀念上極其重要的差別是,沒有任何一種古代文化有著與我們今天的現代概念完全一樣的“等式”概念。現代形式的等式是在一段一千年的時期中逐步產生的。

 

xy這樣的未知量出現在16世紀後期。而等號直到1557年才第一次出現。英國數學家羅伯特·雷科德在《礪智石》中發明了等號:兩條等長的平行孿生短線。當時的等號比現在長得多。

 

19世紀之前,數學家們都一直沒有探究過我們相信1加1等於2的原因。

 

打破古代數學堅冰的第一道裂縫出現於19世紀初葉,即非歐幾何的發現。

 

20世紀,懷特海德和羅素想從集合的角度證明算術是自洽的。但哥德爾讓計劃落空。

 

菲利普·戴維斯和魯本·赫斯在他們1981年出版的《數學經驗》一書中寫到:“典型的數學家在工作日裏時柏拉圖主義者,而在星期天是形式主義者。”可能那些不是數學家的科學家在一周的每一天中都是柏拉圖主義者,他們從來沒有一刻懷疑過1加1不會等於2。

 

2.抗拒新理念:零的發現

 

對於零這個數字有兩種不同解釋。

 

第一種是表示空置數位。在古埃及或古羅馬一類不使用位值係統的文化中不存在這個問題。

 

第二種是把它作為實際存在的實體對待,例如1減1等於零。這一概念於公元628年,在印度人婆羅摩笈多所著的一本題為《經過更正的梵天的論述》的書中第一次出現,而且是與負數一起出現的。

 

3.斜邊的平方:畢達哥拉斯定理

 

非常可能的是,畢達哥拉斯既沒有發現也沒有證明“他的”定理。

 

畢達哥拉斯認為,世界萬物都是由數字統治的。畢達哥拉斯學派發現了他們稱之為“完全數”的數字,也就是那些等於自己全部真因子之和的數字。還有一個概念是質數。

 

畢達哥拉斯很可能在巴比倫學習到了畢達哥拉斯定理。

 

一旦數學走出了畢達哥拉斯的迷霧,走向新發現的道路便暢通無阻,於是就有了西奧多羅斯、歐多克索斯、埃拉托色尼、歐幾裏得、阿基米德等人的發現。如果我們讚美古希臘數學就應該把大部分功績歸於畢達哥拉斯的秘密社團崩潰之後的公開探索精神,而不是歸於他的秘密社團。

 

劉徽對《九章算術》的傾注是其中最優秀的一個。劉徽用“割補法”證明了勾股定理。

 

在古希臘,畢達哥拉斯定理導致了根號2的出現,而在中國,從來沒有數學家清楚地闡述過無理數的概念。

 

中國的勾股定理出現在匿名著作《九章算術》中。

 

古代希臘用歸謬法證明了無理數存在,而古代中國對求出具體數值更感興趣。這類差別又一次提醒我們,並不存在研究數學的唯一正確途徑。

 

4.圓的遊戲:π的發現

 

π的定義有兩個,一個是圓的周長與直徑的比值,另一個是圓的麵積與半徑平方的比值。

 

把這兩個概念清晰地聯係起來的第一個人是阿基米德,他在《圓的測量》的手稿中把周長與麵積聯係起來。

 

幾個世紀後,劉徽與阿基米德用了相同的方法計算π值,他們都使用了內接正96邊型。但劉徽得出了更精確的數字3.1416。

 

1500年前,喀拉拉學派的一位佚名印度數學家發現了更優美的公式來計算π。後來它被用最早的歐洲發現者命名,稱為格裏高利-萊布尼茨公式。這裏,幾何、算術、無窮分析被結合起來。

 


用符號π表示圓周率的方法是1706年由威廉姆·瓊斯首倡,由歐拉推廣。

 

約翰·蘭伯特在1761年證明了π的無理性。費迪南德·林德曼在1882年證明了π是一個超越數。

 

1995年,三位數學家——大衛·貝裏、彼得·波溫和西蒙·普勞夫還發現了一個能夠自我修正的π的公式,就是說,你在計算第527位時犯了錯誤,後麵的計算依然有效。使用這個公式的限製條件是,把π寫成十六進製數字。

 

(我搜了搜網上,《世界科學》有一期刊載了一篇文章介紹了這個公式,但是文章收費。)

 

5.從芝諾悖論談起:無窮的概念

 

阿基米德證明了一個拋物線被直線截去的封閉麵積,等於它以直線為底的內接三角形麵積的4/3。

 

6.杠杆作用的重要性:杠杆原理

 

阿基米德的名聲更多的源於其物理發現和機械發明,但他最引以為傲的成果是他證明了球體體積是它的外接圓柱體體積的三分之二。

 

阿基米德的工作代表了應用數學與幾何還有孕育中的無窮大概念的完美統一。

 

《論浮體》一書中還包含了不同形狀的物體與它們的穩定漂浮形狀的大量信息。這是讓造船工程一改反複嚐試的做法而通往科學的第一步。

 

第二部分 探索時代的定理

 

塔爾達利亞的卡爾達諾公式開創了數學上的一個探索時代,這一時代將改變世界數學的疆界,其深刻成度不亞於哥倫布的發現對於真實世界地理麵貌的改變。但是在一個重要方麵,這個公式不如微積分基本定理。

 

7.口吃者的秘密:卡爾達諾公式

 


塔爾達利亞發現了求解三次方程的方法,並告訴了卡爾達諾,要求後者遵守誓言不能公之於眾。卡爾達諾的仆人費拉裏借助它獲得了求解四次方程的方法,並將兩種方法公之於眾。這一公式卻使用卡爾達諾的名字命名。

 

數學的繁榮來自公開的交流。僅僅發現了新大陸還不夠,發現者還必須讓這一發現為世人所知,隻有卡爾達諾采取了這最後一步。

 

卡爾達諾公式具有長期的影響,甚至超過了它所解決的問題本身的重要意義。它是首次吸引人們在數學中使用虛數和複數的事物之一。

 

如果沒有虛數,現代數學和物理學都無法想象。

 

1824年,挪威的數學家阿貝爾證明,對於五次方程,不存在任何卡爾達諾式的求解公式。

 

8.九重天上的秩序:開普勒的行星運行定律

 


9.書寫永恒:費馬最後定理

 


數論是研究有整數解的方程的理論,費馬是對數論產生濃厚興趣的第一位現代歐洲數學家。

 

懷爾斯和他的學生解決了費馬“定理”的證明問題,終於確定了這個猜想是一個定理。

 

n=5時,費馬問題就發生了意義的重大改變。要做出n=5的證明,人們要有19世紀的複數與代數數域的方法,這是費馬時代沒有的。所以費馬很可能沒有證明他的定理。

 

10.一片未曾探索過的大陸:微積分基本定理

 


兩位偉大的發現者,牛頓和萊布尼茨。他們各自獨立發現了微積分,牛頓略早發現,但是萊布尼茨最先告知世人。萊布尼茨的表述方法更簡單,牛頓的表述已經和他本人一起離世了。

 

一切與微積分基本定理有聯係的數學範疇都被稱為“分析”,還被細分為實變函數分析、複變函數分析、泛函分析等。區別在於知識分子的嚴謹。

 

微積分論證中最艱難的部分在於對無窮小的理解。

 

11.關於蘋果、傳說……以及彗星:牛頓定律

 


12.偉大的探索者:歐拉定理

 


歐拉擅長函數與無窮級數。

 

歐拉獲得了十二次巴黎國際數學大獎賽。

 

他首創了今天所有數學家都在使用的表示法:用e表示自然對數的底數、用i表示-1的平方根、用f(x)表示函數。

 

他找出了讓牛頓運動定律適用於流體的方法,他所得到的方程至今仍被稱為歐拉的流體力學方程。

 

V-E+F現在被稱為歐拉示性數:它是一個拓撲不變量,用以區分不同的二維表麵。V是多麵體的頂點數,E是棱數,F是麵數。

 

歐拉乘積或許是人們有史以來發現的最重要的公式。今天我們知道的有關質數分布的大部分知識來自對ζ函數的細心研究。

 

第三部分 普羅米修斯時代的定理


漢密爾頓發明了四元數。這一步驟與其他數學家對於新幾何新函數的發現幾乎同步,這些發現共同作用,把數學家從傳統的結構與束縛中解放了出來。

 

13.新的代數:漢密爾頓與四元數

 


漢密爾頓認為四元數的第四維可以代表時間。但漢密爾頓的四元數裏,三個虛數代表了空間,一個實數卻代表了時間。而在閔可夫斯基和愛因斯坦的思想裏,時間是虛數。

 

四元數不適用於乘法交換律。

 

漢密爾頓的朋友格雷夫斯發現了八元數代數。然而,每當維數增加一倍時就會有些犧牲。從二維到四維,人們丟失了交換律;從四維到八維,人們丟失了結合律;而從八維到十六維,人們丟失了除法。至此漢密爾頓定義超複數的計劃戛然而止,因為他一直堅持除法是必須有的運算。

 

其他數學家沒有這樣的心理情節。你可以找出由加、減、乘三種運算組成的代數結構,把它們叫作環;也可以隻要加減,或者隻要乘除,叫作群;甚至把運算縮減為一種,叫作幺半群。

 

人們有這麼多可供選擇的代數結構,現在的問題不再是哪些結構是可能的,而是哪些結構值得研究。

 

一個標準是新結構有助於解決已經存在的問題,另一個標準是它會有深刻的、有固有美感的理論。群的結構符合這兩個標準。

 

14.兩顆流星:群論

 


挪威的阿貝爾和法國的伽羅瓦都早夭,一個26歲一個20歲,但他們創立了群論。

 

要想求證某項任務不可能確實很困難。這不是一件靠嚐試法就能解決的問題。為完成這一任務你得到了一些工具,你必須發現這些工具本身帶有與生俱來的缺陷,這才能證明你的任務是不可能完成的。

 

阿貝爾和伽羅瓦並沒有證明五次多項式方程無解,他們證明了四則運算加上根式運算不足以表達這些解。埃爾米特證明任何五次方程的解可以用阿貝爾發現的橢圓函數寫出。

 

另外一個原因成就了伽羅瓦的證明的不朽名聲。他提出的群的概念現在已經變成了數學家用以表達對稱這一古老想法的主要工具。

 

他發明的群論,實現並超越了發明者的夢想。化學家用群論描述晶體的對稱性。物理學家用群論描述亞原子粒子的對稱性。當物理學家想要創造一種新的場論時,他們就會從創造這種場論的對稱群開始。

 

15.鯨魚幾何與螞蟻幾何:非歐幾何

 


老波爾約研究歐幾裏得平行線公理無果,告誡小波爾約不要證明平行假設。但小波爾約發明了非歐幾何。高斯本有這個設想,但他不但缺乏發表自己發現的勇氣還打擊了小波爾約,說非歐幾何毫無新意。

 

由於高斯言不盡意,小波爾約輕言放棄,這讓非歐幾何為人矚目的大部分功績屬於俄羅斯的羅巴切夫斯基。

 

在俄羅斯,羅巴切夫斯基發明的幾何叫作羅巴切夫斯基幾何,歐洲人更為貼切地稱之為雙曲幾何。

 

想象你是一頭鯨魚。在深邃的大洋裏光線不是很有用,因為水中很暗。所以你主要靠聲音感受外界、與外界交流。在你的世界中,兩點之間的最短距離將是聲波走過的路徑,這相當於一條直線。由於聲音在大洋中的傳播速度並不是時時處處相等,在某一深度以下,它的傳播速度跟它與水麵的距離成正比。所以聲波傳播的路徑是曲線。在鯨魚的幾何中,曲率是負值,最初平行的直線之間的距離會越來越大。

 

而球麵幾何中曲率是正值,一個三角形可以有三個直角。過去沒有人把球麵幾何看作有別於歐幾裏得幾何的一種幾何,原因很簡單:我們可以把一個球體看成是鑲嵌在歐幾裏得三維空間中的形體,因此它的非歐性質並非顯而易見。如果想象一隻螞蟻住在一顆沒有山脈和海洋的小行星上,它感覺不到第三維,它的一切隻是一個球麵。這裏的幾何可以叫做螞蟻幾何。

 

我們也可以想象變曲率的幾何和更多維度的幾何。高斯是第一個理解二維空間中變化曲率概念的數學家,他的學生黎曼將這一概念推廣到了更高維的情況。他們二人為廣義相對論提供了數學基礎。

 

16.我們信賴質數:質數定理

 


高斯證明了正17邊形可以用尺規作圖法畫出。早在1673年,笛卡爾就在《幾何學》書中發明了一種線段是否可以畫出的簡單標準:如果某一線段的長度可以隻用整數的五種代數運算操作,則這條線段可以用尺規法從一條已知單位長線段中畫出。

 

為了證明(360/17)°是一個可以畫出的角度,他求解了17次方程。

 

在《算術研究》中,高斯指出如果n的所有奇質數因子都比2的某次方冪多1,且這些奇質數因子隻在n中出現一次,則正n邊形可以畫出。

 

現在隻知道5個滿足這一標準的質數:3、5、17、257、65537。

 

質數在數論中扮演核心角色。正是通過所有質數的乘法運算,才組成了所有其他一切數字。

 

如何理解質數的分布方式,是它們讓人感到神秘莫測的地方之一。

 

高斯的猜想在1898年被證明後叫作質數定理,它為質數的分布提供了異常精確的預測。阿達馬和瓦來普桑,分別獨立證明了這個定理。切比雪夫和黎曼在這之前都做了貢獻。

 


17.關於譜係的想法:傅裏葉級數

 


今天,任何學習數學的大學生在學習時都不可避免地會讀到19世紀上半葉中一大批法國人的名字,其中包括拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、柯西、劉維爾、泊鬆和傅立葉。

 

法國數學家曆經法國革命、革命後的恐怖時期、拿破侖的崛起、拿破侖的流放及歸來、君主製複辟、查理王遜位和路易·菲力浦王的即位,最後還有第二共和國和第二帝國等風雨,但卻依然在蓬勃發展。所有這些政治命運的急劇變化都曾改變了個別數學家的生命軌跡,他們的命運隨著他們選擇追隨的領袖的命運起伏動蕩。盡管如此,作為整體的法國數學文化依舊繁榮。這種現象的原因之一或許是法國社會活動性的增加,它讓任何有天賦而且運氣不算太壞的人能夠得到受教育和獲得職業的機會。

 

1798年拿破侖征伐埃及時,隨隊的科學家裏就有傅立葉。滑鐵盧戰役為傅立葉的政治生涯畫上一個句號,但這有助於他的科學生涯。

 

傅立葉建立的熱傳導方程準確地指示了當前的溫度分布會如何影響以後的溫度。

 

每當你閱讀一份天氣預報時,你所讀到的實際上是描述大氣中熱量、空氣和水分運動的幾個偏微分方程的解。

 

傅立葉宣稱,任何溫度分布都可以寫成正弦波的和的形式(並非僅僅是有限和式——人們今天稱這種無限和式為傅立葉級數)。

 

傅立葉的論文標誌著,函數從此開始有了更廣闊的概念,即我們今天使用的輸入-輸出模式。函數不過是一種規則,它賦予任何輸入值獨一無二的輸出值。輸入值與輸出值甚至不需要是數字,而那種規則自然也不需要一定能夠表達為公式。

 

對於帶有不連續點的函數,“f-帽-帽”=f不成立。天文學家使用傅立葉級數和傅立葉變換來確定遙遠天體上存在著各種分子,無線電收音機利用這一原理選擇特定頻道。

 

傅立葉的論文的發表備受老師拉格朗日的阻撓,在拉格朗日死後,論文才得見天日。

 

18.上帝之眼中看到的光:麥克斯韋方程

 


牛頓定律解釋了固體物體對機械力的反應,歐拉的流體力學方程解釋了流體對機械力的反應。然而電、磁與光的本質依然神秘。麥克斯韋找到了把這一切聯係起來的理論。

 

菲涅爾把光視為橫波,解釋了幹涉、衍射和折射這三種現象。

 

麥克斯韋在一篇論文中用斜體字寫道:“我們將幾乎無法避免地推斷,光是由引起了電現象與磁現象的同一種介質的橫波紋組成的。”

 

麥克斯韋的大部分方程並非他自己首創。這些方程分別叫作高斯定律、法拉第定律和安培定律。麥克斯韋僅有的新貢獻是當考慮電流時加入安培定律的修正項。盡管如此,他認識到這些方程可以放入同一個係統,以及他有關電場和磁場是基本媒介的想法,這些完全是麥克斯韋的功績。同樣,發現這些方程中唯一的物理常數光速c是一個不變的基本物理常數,也是麥克斯韋的功績。

 

麥克斯韋方程預言電磁波可以以不同的波長存在,預言電磁波可以通過振蕩電場產生,暗示光本身可以產生壓強,為愛因斯坦指明了發現相對論的道路。

 

第四部分 我們這個時代的定理

 

作者選擇愛因斯坦作為20世紀數學定理史的起點。

 

有時候,後入教的皈依者會成為最好的傳道者。愛因斯坦是一位不情不願的數學家,但他增加了數學這一學科的光彩,這一點他當之無愧。

 

19.光電效應:量子與相對論

 


光電效應方程與E=mc?高中物理學過。光電效應理論打響了量子革命的第一槍。

 

如果愛因斯坦隻是一位普通的科學家,或者他隻是一位普通的諾貝爾獎得主,公式E=hv都足以成為他一生事業的最高成就。然而這一公式都不是他以E打頭的最著名公式。

 

日本廣島的原子彈爆炸中實際轉化為能量的物質的重量隻比一顆氣槍子彈大一點點。

 

廣義相對論場方程的左端是空間曲率的測度,右端是應力-能量張量,代表質能的傳播。

 

相對論理論大師約翰·惠勒言簡意賅地表達了這些方程的含義:“物質告訴時空如何彎曲,彎曲的時空告訴物質如何運動。”

 

20.從劣質雪茄到威斯敏斯特大教堂:狄拉克公式

 


施特恩和格拉赫還有雪茄的故事。銀原子束一分為二,通過雪茄煙中的硫形成硫化銀,在屏幕上形成黑影。一根雪茄確認了量子理論的假說。

 

狄拉克改進了愛因斯坦的E?=m?c四次方+p?c?公式,這是質能等價公式的修正公式,包括了電子角動量p。狄拉克不想把愛因斯坦的公式兩邊加上平方根,他認為那不簡潔。他把他的公式寫成了矩陣形式,然而它其實和漢密爾頓的四元數一樣,不同的隻有名字。狄拉克重新發現了四元數。

 

狄拉克對愛因斯坦公式的另一處改動,是把能量改寫為作用在波函數上的一個算子。

 

狄拉克公式裏有四個成分,兩個可以解釋為電子的兩個自旋方向,另外兩個預言了正電子。這是世上第一次,一位物理學家通過純粹數學的手段成功預言了過去未知的粒子的存在。

 

狄拉克方程也揭示,宇宙中有兩種根本不同的量子粒子,一種是具有矢量波函數的玻色子,另一種是具有四元數(旋量)式的波函數的費米子。所有普通物質的基本粒子都是費米子。

 

這一模式解釋了元素周期律。

 

狄拉克公式的實際應用有激光、正電子發射計算機斷層掃描術、核磁共振成像術。

 

在狄拉克方程引導下,量子物理學家更好地認識了真空,那裏有各種能量,各種粒子與反粒子突然出現又消失。粒子是在量子場中的漲落現象。

 

繼承牛頓的盧卡斯數學教授職銜。葬在威斯敏斯特大教堂內離牛頓墓不遠的地方。

 

21.王國締造者:陳省身-高斯-博內公式

 


20世紀的數學有三個趨勢。

 

趨勢一。從愛因斯坦開始,物理學家時常吃驚地發現,數學原來早已準備好了他們所需要的工具。數學家們也不斷地意識到,是物理學上的問題和定理帶來了最有趣、最深刻的數學發展。

 

趨勢二。黎曼使變化曲率的幾何成為可能之後,在20世紀下半葉有了爆發式發展,變成了數學的一個核心領域。

 

趨勢三。全球化不斷增加。

 

陳省身當仁不讓例示這三大趨勢。

 

微分幾何中最重要也是最有意思的數值正是那些獨立於坐標選擇的指標。例如,愛因斯坦的廣義相對論中,物理定律獨立於坐標係。

 

陳省身把老師嘉當的理論從隻適於描述較小的彎曲空間的局部方法改進為能夠總體處理空間的全麵理論。

 

高斯-博內定理是古代幾何學(三角形內角和是多少度?)與現代幾何學(我們如何描述彎曲表麵的總體性質?)的分水嶺,那時我們就告別了古代幾何學。為了讓高斯-博內定理從局部推廣到整體,我們不僅需要在一個三角形上加和曲率,而且需要在外麵的整個表麵上加和曲率。

 

高斯-博內定理有兩個特點。一,曲率K是表麵的固有性質,並非在表麵之外才能檢測表麵。二,表麵的總曲率是量子化的,永遠是2π的整數倍。

 

高斯-博內定理在任何偶數維彎曲空間或流形上成立。

 

1963年阿蒂亞和辛格更清楚地闡明了數學與物理之間的聯係。他們不但求解了狄拉克方程而且同時(除了其他成果之外),還在這一過程中直接證明了陳-高斯-博內定理。

 

為什麼陳省身-高斯-博內定理如此重要?因為隻要我們想理解我們生活於其中的這個宇宙,我們就隻能在這個宇宙之內,而不存在走出這個宇宙的可能。

 

數學是有關一切可能的宇宙的。為理解那些具有偶數維的光滑流形的宇宙,我們需要同樣的場的表達形式和同樣的狄拉克方程。

 

22.有一點無限:連續統假說

 


在本書裏,我最喜歡這一章。在很長一段時間裏,康托爾的樂園總是吸引著我。

 

在接近19世紀末的時候,數學家們開始形成了一個共識,認為集合,而非數字,才是建築數學大廈的基本材料。

 

基數性是很麼?兩個集合之間有沒有一一對應的關係?可數無限集之間如何運算?

 

康托爾的對角論證是現代數學最根本、最基礎的突破之一。

 

數軸上整數的基數是阿列夫零,連續統是數軸上其他數集的基數c。康托爾認為不會有在阿列夫零與c之間的超限數。

 

一些數學家否定康托爾的工作,希爾伯特強烈支持康托爾的工作,他寫道:“任何人也不應該拒絕我們進入康托爾創建的樂園的權利。”

 

希爾伯特著名的23個數學問題,連續統假說排第一,第二是證明數學的一致性,這兩個問題是相關的。

 

哥德爾意識到,在任何公裏係統中存在著阿列夫零種可能的陳述。每種陳述分為正確的,錯誤的,可以證明的,不可以證明的,胡言亂語無意義的。每一種陳述都可以賦予一種獨一無二的識別數字。想象存在著一個集合L,所有可證明的陳述的識別數字都在這一集合中。這樣一來就把某個特定陳述不可證明的斷言歸化為數學上的論斷:“這一數字不在集合L中。”哥德爾運用了康托爾的對角論證的一種版本來證明,在形如“這一數字不在集合L中”的所有句子中至少有一個句子事實上不在可證明陳述的名單之內。因此,這一特定陳述既正確,又不可證明。

 

作者認為哥德爾不完備定理相當於海森堡的測不準原理,二者都為人類理解的可能極限劃定了疆界,其中一個在數學領域中,另一個在物理學領域中。人類在十年之間相繼做出了這兩大發現。人類在19世紀滿懷維多利亞式的信念,對人類知識的進步與完善充滿了遐想;而此後,20世紀的人類開始進入了對自己的局限性有所認識的時代。這兩大裏程碑式的發現是一個時代的哲學完全形態的組成部分。

 

哥德爾並沒有找到一個有實際數學內容的不可證明的陳述,即一個數學家或許會真正予以關注的數學陳述。

 

哥德爾與科恩分別證明了連續統假說無法通過策-弗集合論公理證明為偽和真。連續統假說獨立於集合論的其他公理。

 

你永遠也無法證明一個公理體係,那不過是一個出發點而已。

 

23.混沌理論:洛倫茲方程

 


這個洛倫茲不是那個洛倫茲變換的洛倫茲。這是愛德華·洛倫茲。

 

在一篇短文中,洛倫茲幾乎確定了混沌的所有主要組成部分,盡管他沒有為它們命名:對初始條件的敏感依賴性;受無限複雜而又優美的幾何結構(人稱奇異吸引子)控製的長期行為;可以令混沌產生或消除的一個或幾個參數;非線性但完全確定的動力學。

 

混沌在線性係統中不會出現,不會在小於三個變量的連續時間係統中出現,不會在任何一個方程的解能寫成公式的係統中出現。

 

離散型時間係統中,比如在生物學家羅伯特·梅描述某物種群體總數逐年變化的方程中,即使隻存在一個變量,混沌也有可能發生。

 

所有混沌理論學家都承認的第一個踏入混沌研究的人是龐加萊,他曾努力解答三體問題無果。

 

同步混沌。

 

量子混沌有限形式。

 


24.馴虎:布萊克-斯科爾斯方程

 


老虎終究還是老虎,金融市場終究是金融市場。

 

自從布萊克和斯科爾斯取得突破性進展以來,市場在1987、1998和2007年三度咬傷了那些認為他們可以馴服市場的人們。

 

布萊克-斯科爾斯方程左端代表你購買期權並根據布萊克與斯科爾斯開出的藥方對其進行動態對衝所能得到的投資回報率。方程右端代表你單純把錢存到銀行中所能得到的回報率。

 

結論:將來會如何?

 

好消息,世界範圍內,數學與科學的事業看上去非常健康。重要公式的絕對數量持續上升。

 

壞消息,有趣又優美的方程似乎在20世紀已經達到頂峰了。同時,最重要的數學行為模式可能再也無法以方程的形式表達了,而是在計算機上編碼、收集數據並篩選。另外,數學在生物學上的應用還不太理想。

 

數學有異乎尋常的悠久傳統。某些事情不會很快地改變。

 



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