考研數學丨必背的高數定理


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  基礎複習階段,有些同學對2017考研數學複習還不太重視,認為數學沒什麼需要背誦的知識,放到後麵的強化階段再複習也不遲。其實,考研數學也是有需要背誦的知識,那就是一些常用的公式定理,同學們必須在2017考研複習基礎階段就背的滾瓜爛熟,以方便解題做題。下麵,啟航考研給大家整理了高數必背定理——中值定理與導數的應用


  1、定理(羅爾定理)如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,在開區間(a,b)內可導,且在區間端點的函數值相等,即f(a)=f(b),那麼在開區間(a,b)內至少有一點ξ(a


  2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,在開區間(a,b)內可導,那麼在開區間(a,b)內至少有一點ξ(a


  3、定理(柯西中值定理)如果函數f(x)及F(x)在閉區間[a,b]上連續,在開區間(a,b)內可導,且F’(x)在(a,b)內的每一點處均不為零,那麼在開區間(a,b)內至少有一點ξ,使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。


  4、洛必達法則應用條件隻能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。


  5、函數單調性的判定法設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,在開區間(a,b)內可導,那麼:(1)如果在(a,b)內f’(x)>0,那麼函數f(x)在[a,b]上單調增加;(2)如果在(a,b)內f’(x)


  如果函數在定義區間上連續,除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續,那麼隻要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間,就能保證f’(x)在各個部分區間內保持固定符號,因而函數f(x)在每個部分區間上單調。


  6、函數的極值如果函數f(x)在區間(a,b)內有定義,x0是(a,b)內的一個點,如果存在著點x0的一個去心鄰域,對於這去心鄰域內的任何點x,f(x)f(x0)均成立,就稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值。


  在函數取得極值處,曲線上的切線是水平的,但曲線上有水平曲線的地方,函數不一定取得極值,即可導函數的極值點必定是它的駐點(導數為0的點),但函數的駐點卻不一定是極值點。


  定理(函數取得極值的必要條件)設函數f(x)在x0處可導,且在x0處取得極值,那麼函數在x0的導數為零,即f’(x0)=0.定理(函數取得極值的第一種充分條件)設函數f(x)在x0一個鄰域內可導,且f’(x0)=0,那麼:(1)如果當x取x0左側臨近的值時,f’(x)恒為正;當x去x0右側臨近的值時,f’(x)恒為負,那麼函數f(x)在x0處取得極大值;(2)如果當x取x0左側臨近的值時,f’(x)恒為負;當x去x0右側臨近的值時,f’(x)恒為正,那麼函數f(x)在x0處取得極小值;(3)如果當x取x0左右兩側臨近的值時,f’(x)恒為正或恒為負,那麼函數f(x)在x0處沒有極值。


  定理(函數取得極值的第二種充分條件)設函數f(x)在x0處具有二階導數且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0那麼:(1)當f’’(x0)0時,函數f(x)在x0處取得極小值;駐點有可能是極值點,不是駐點也有可能是極值點。


  7、函數的凹凸性及其判定設f(x)在區間Ix上連續,如果對任意兩點x1,x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2,那麼稱f(x)在區間Ix上圖形是凸的。


  定理設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,在開區間(a,b)內具有一階和二階導數,那麼(1)若在(a,b)內f’’(x)>0,則f(x)在閉區間[a,b]上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內f’’(x)


  判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0,解出這方程在區間(a,b)內的實根;(3)對於(2)中解出的每一個實根x0,檢查f’’(x)在x0左右兩側鄰近的符號,如果f’’(x)在x0左右兩側鄰近分別保持一定的符號,那麼當兩側的符號相反時,點(x0,f(x0))是拐點,當兩側的符號相同時,點(x0,f(x0))不是拐點。


  在做函數圖形的時候,如果函數有間斷點或導數不存在的點,這些點也要作為分點。

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